人工智能中的不确定性

推理系统所得到的结论通常具有不确定性。医生可能觉得你可能得了感冒，也可能是过敏。模糊逻辑和概率论是处理这种不确定性的两种方法。

洛特菲·扎德（Lofti Zadeh）

不确定性是每个人生活中不可避免的组成部分。早晨，天气预报告诉我们，晚上有30%的可能性会降雨。报纸上商业版的报告说，社区的住房抵押品赎回危机在改善之前有50%的机会变得更糟。医生告诉你，如果你继续暴饮暴食，不运动，将很难长命百岁。当然，如果人工智能系统要具备健壮性，那么它们必须具备应对这些不确定性的能力。

模糊逻辑和概率论是两种经常使用的工具。模糊逻辑将先前非黑即白的事件分配了灰度级别。例如，在下雨的时候，新车上的牵引力控制系统（见图1.0）应该发挥作用。假设一开始只是毛毛雨，然后雨势逐渐增大到一定程度，模糊逻辑提供了应对这些不确定性所需的理论基础。

图1.0　大多数现代汽车配备了牵引力控制系统，这些系统在不同降水条件下可以发挥作用。这些系统使用模糊

你想买一辆新车，但是缺乏资金，于是你申请银行贷款。银行的贷款人员想知道你的一些信息，包括储蓄账户的余额、年收入、房子的剩余抵押贷款（或是月付租金）、信用记录和其他财务状况。基本上，银行会基于你目前的情况确定你偿还贷款的可能性。概率通常用于结果得不到完全预测的情况。

模糊集

假设导师要求，如果你是男性，请举起手，然后要求你放下手。接下来，导师要求，如果你是女性，请举起手。毫无疑问，班上的每个学生都举手一次，并且仅有一次。如下列的集合：

• M = {x | x是你班上的男学生}
• F = {y | y是你班上的女学生}

这是一个明确集的例子，因为班上的每个学生属于并且仅属于一个集合。这两个集合的交集是空集，如M∩F =，意味着没有元素是两个集合的共同成员。

接着想象一下，班上的每个人都有工作。现在，导师要求，如果你对工作感到满意，请举手。然后他说，如果你对工作不满意，请举手。有几个人可能会举两次手。[1] 在每种情况下，一些人可能仅仅由于一些原因而举手。因为大多数人不是完全满意或不满意自己的工作，所以工作满意度可以被认为是一个模糊的概念。另一个例子是停车场中的停车位（图8.1）。我们常常发现，人们可能出于某种理由匆忙、随意地停放汽车，以至于汽车占了两个相邻的不同停车位。

图1.1　一辆汽车停放在两个不同的停车位

Lotfi Zadeh[2]提出了模糊逻辑。令X = {x1，x2，x3，…，xn}为有限集，A是X的一个子集，写成A⊆X，并且A中的元素只有x2；然后A可以由维度为n的隶属度向量表示：

• Z(A) = {0, 1, 0, …, 0}

每当xi等于1时，则xi是集合A的元素。包含x2和x3的X子集B可以表示为：

• Z(B) = {0, 1, 1, …, 0}

其他明确子集（有2n−2个）可以用类似的方法表示。

考虑下面的模糊集C：

• Z(C) = {0, 0.5, 0, …, 0}

在古典（明确）的集合理论中，这是不可能出现的情景。x2是否属于C？在模糊集合理论中，元素x2在一定程度上属于集合C。[3] 这种隶属度程度由区间[0,1]中的某个实数表示。

模糊集合的另一个例子是所有高个子人的集合。如果你观看了2008年北京奥运会的开幕式，那么你可能看到了身高2.31m的篮球明星姚明，他为中国运动员方阵举旗。他旁边的是小学生林浩，在2008年5月汶川地震发生后，他帮助抢救在瓦砾中的同班同学。没有人对姚明身材较高而林浩身材较矮有争议。

对于那些身高1.78m的人而言，我们应该说些什么呢？嗯，你可以说，在某种程度上，他们的身高算高的了。

我们认为“身高”是一个“模糊概念”。为了在模糊集合中表示隶属度，我们可以绘制一个隶属函数，如图1.2所示。

图1.2　身材高大人集合的隶属函数

一个身高约1.53m（或更低）的人不是身材高大人集合的成员。在这个集合中，一个身高约1.83m的人，其隶属度可能为0.65，我们将其表示为μt（6'）= 0.65，其中μt()是该集合的隶属度函数。我们当然同意μt（7'6"）= 1.0，即姚明肯定有资格完全隶属于这个集合。

令X为一个经典的全集。

实数函数μA：X→[0,1]是集合A的隶属函数。所有（x，μA（x））对的集合定义了X的模糊子集A。

隶属函数完全指定一个模糊集。属于X的所有元素x的集合被称为模糊集A的支持集。其中（x，μA（x））属于A，μA（x）> 0。对于所有身材高大人的集合t（见图8.2），支持集由5英尺高或身材更高的所有人组成。如果A是具有有限支持集的集合{ a1，a2，…，am}，那么这就可以表示为：

• A = μ1 / a1 + μ2 / a2 + … + μm / am　

其中μi=μA（ai），i = 1，…，m。注意，“/”和“+”符号用作分隔符，不进行除法或加法运算。例如，如果X = {x1，x2，x3}，A和B是两个（明确）子集：A = {x1，x3}和B = {x2，x3}，那么这些集合可以表示为：

• A = 1 / x1 + 0 / x2 + 1 / x3
• B = 0 / x1 + 1 / x2 + 1 / x3

集合A和B的并表示为A∪B，这是属于A或B（或两者）中的所有元素的集合。A∪B可以通过取每个xi在任意集合中的最大隶属度计算得到，例如，A∪B= 1 / x1 + 1 / x2 + 1 / x3。这种方法很容易推广到模糊集合的情况。例如，如果：

• C = 0.2 / x1 + 0.5 / x2 + 0.8 / x3
• D = 0.6 / x1 + 0.4 / x2 + 0.2 / x3

那么C与D的模糊并集是：

• C∪D = 0.6 / x1 + 0.5 / x2 + 0.8 / x3

两个集合的模糊交集定义为取每个元素最小隶属度，而不是最大隶属度。因此，对于前面的例子：

• C∩D = 0.2 / x1 + 0.4 / x2 + 0.2 / x3

明确集E的补集（即Ec），是在全集（本例为X）中所有不在E集合中的元素的集合。补集Ec的计算如下（其中E是模糊集合）：

• μEc (x) = 1 − μE (x),∀x∈X

例如，如果E是模糊子集，则

• E = 0.3 / x1 + 0.1 / x2 + 0.9 / x3

那么E的补集就等于：

• Ec = 0.7 / x1 + 0.9 / x2 + 0.1 / x3

注意，一般来说，当A是一个模糊集合时，A与其补集的并集不等于全集，A与其补集的交集也不为空集，这与明确集的行为不一样。对于模糊集合E，有：

• E∪Ec = 0.7 / x1 + 0.9 / x2 + 0.9 / x3
• E∩Ec = 0.3 / x1 + 0.1 / x2 + 0.1 / x3

如我们所看到的，生活不是非黑即白，也有许多灰色区域。例如，人到了几岁才被认为是成熟了？在美国，年满18岁就可以入伍；但是在纽约州的酒吧点酒，你必须年满21岁。要竞选总统，你必须年满35岁。我们认为成熟是一个模糊的概念。在许多现代应用的控制中，从数码相机到洗衣机，模糊逻辑已经实现了广泛的应用。

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